Histoire des sciences

Babylone, berceau de l’abstraction mathématique

Cinq tablettes gravées montrent que les Babyloniens, s’ils ne maîtrisaient pas la géométrie comme les Grecs le feront plus tard, possédaient déjà une capacité à l’abstraction suffisante pour effectuer des calculs dans un espace mathématique abstrait dont l’une des dimensions est le temps

Ne jamais jeter de vieilles images, surtout quand elles représentent des objets très anciens. C’est grâce à des photographies de tablettes Babyloniennes qu’un historien de l’astronomie, Mathieu Ossendrijver, vient de découvrir à quel point les mathématiciens de l’époque pratiquaient l’abstraction. Des travaux qui ont les honneurs de la couverture du magazine Science.

Au XIXe siècle, époque majeure pour les fouilles archéologiques – officielles et sauvages –, quantité d’objets sont venus enrichir les collections des musées. C’est ainsi que le British Museum possède plus de cent trente mille tablettes d’argile provenant des cités de Babylone et d’Uruk. Gravées de lignes serrées en écriture cunéiforme – et vierges de représentations graphiques – elles nous ont beaucoup appris sur la vie quotidienne, l’économie, le droit ou les mathématiques mésopotamiennes. Parmi ces tablettes plus ou moins bien conservées, quelques centaines seulement démontrent l’intérêt des mathématiciens de Babylone pour l’astronomie.

«En 2014, l’assyriologue Hermann Hunger, de l’Université de Vienne, est venu passer deux semaines dans mon laboratoire de l’Université Humboldt à Berlin, raconte Mathieu Ossendrijver, astrophysicien converti à l’histoire de sa discipline. Il avait apporté un jeu de photos vieilles d’une cinquantaine d’années, qu’il m'a laissé, estimant ne rien pouvoir en faire.» Le chercheur a découvert que l’une d’entre elles portait des nombres identiques à ceux qu’il avait observés sur un lot de quatre tablettes fabriquées entre 350 et 50 ans avant J.-C., qui l’occupait depuis quatorze ans: quatre plaques gravées de calculs évoquant la méthode des trapèzes, une technique géométrique qui permet de calculer des surfaces.

De leur contexte, Mathieu Ossendrijver n’avait qu’une certitude: elles mentionnaient Jupiter. La cinquième tablette lui a permis de résoudre l’énigme. Elle décrit en détail la procédure de calcul appliquée dans les quatre autres, l’algorithme mis en œuvre pour déduire la distance parcourue par Jupiter sur l’écliptique, à partir de l’évolution de sa vitesse angulaire au fil du temps. Des calculs qui portent sur les soixante premiers jours du cycle de la planète, qui démarre quand elle commence à être visible dans le ciel, juste avant l’aube.

Les Babyloniens n’avaient aucune idée de la géométrie de notre système solaire, et encore moins des lois qui gouvernent le mouvement des astres, et de la notion d’écliptique, le plan dans lequel la Terre tourne autour du Soleil. Mais ils avaient observé que, vu de la Terre, les planètes et le soleil se déplacent suivant une ligne dans le ciel, que nous appelons écliptique. Leurs calculs astronomiques se bornaient donc à prévoir quand une planète apparaît ou disparaît, et à estimer la vitesse angulaire de son déplacement sur cette ligne. Une trajectoire qui forme une boucle, suivant l’illusion optique liée au mouvement relatif de la planète et de la Terre: l’astre commence par suivre une ligne droite, puis ralentit et repart dans l’autre sens, en accélérant, tout en dessinant une boucle – c’est le mouvement rétrograde –, avant de ralentir et d’achever son mouvement rétrograde en accélérant à nouveau dans la direction de départ.

«Ces tablettes montrent comment les Babyloniens calculaient le déplacement de Jupiter»

«Ces tablettes montrent comment les Babyloniens calculaient le déplacement de Jupiter, en supposant que sa vitesse varie de manière linéaire dans le temps», explique le Danois Jens Hørup, l’un des meilleurs spécialistes des mathématiques babyloniennes, qui salue «le travail remarquable de Mathieu Ossendrijver». «Cela revient à tracer la courbe qui représente la variation de vitesse en fonction du temps, puis à calculer la surface sous cette courbe qui correspond à la distance parcourue.» Ce que les mathématiciens appellent un calcul intégral, pour lequel le découpage de cette surface en trapèzes est un outil simple, mais efficace en première approximation. «Mais attention, cela ne signifie pas que les mathématiciens de l’époque faisaient des schémas, on n’en a jamais retrouvé. C’est simplement une astuce de calcul», souligne de son côté Jim Ritter, de l’Institut de mathématiques de Jussieu, à Paris.

À dire vrai, personne n’est capable de dire s’il s’agissait bien de calculs à vocation astronomique, ou de la simple application de la méthode des trapèzes à l’exemple de la trajectoire de Jupiter, symbole de Mardouk, le plus important des Dieux babyloniens. «Dans les tablettes, un calcul qui consiste à déterminer en combien de jours Jupiter parcourt la moitié de la distance qu’elle accomplit en soixante jours, ce qui revient à déterminer deux trapèzes de même surface. La réponse est d’un peu plus de 28 jours puisque la vitesse n’est pas constante, mais elle n’a pas d’intérêt en astronomie», souligne Mathieu Ossendrijver. Mais ces tablettes montrent que les Babyloniens, s’ils ne maîtrisaient pas la géométrie comme les Grecs le feront plus tard, possédaient déjà une capacité à l’abstraction suffisante pour effectuer des calculs dans un espace mathématique abstrait dont l’une des dimensions est le temps. «C’est le plus ancien exemple de lien entre un raisonnement géométrique et l’astronomie mathématique. Et même si on ne sait pas s’il s’agit simplement d’un algorithme, le vocabulaire employé dans les tablettes est bien géométrique», se réjouit Jim Ritter. Après l’abandon de l’écriture cunéiforme, vers l’année 100 de notre ère, qui signa l’oubli du savoir babylonien, un tel lien ne réapparaîtra qu’au XIVe siècle, chez les philosophes mathématiciens d’Oxford et de Paris.

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