Prenez un chou romanesco (image) et coupez-en une branche; ne ressemble-t-elle pas à une version réduite du légume entier? On peut répéter l’expérience sur le morceau, et observer les mêmes structures qui se répètent, de plus en plus petites.

Cet aliment photogénique n’est pas le seul objet possédant cette propriété dite d’auto-similarité; de tels exemples sont légion dans la nature, de la structure des poumons à celle des galaxies, en passant par les feuilles de fougères ou les branches d’arbres.

Le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot a donné en 1975 le nom de «fractales» à de tels objets.

La géométrie qu’il a développée, basée sur ce concept, est mieux adaptée à décrire la nature, complexe et irrégulière, que notre géométrie «classique». Comme il l’a écrit, «les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles et les éclairs ne se déplacent pas en ligne droite».

La beauté mathématique des fractales vient de la simplicité des formules sur lesquelles elles sont basées. C’est la répétition de l’application de ces équations génératrices de motifs qui crée les structures auto-similaires et des images infiniment complexes. Cette idée est utilisée avec succès pour générer informatiquement des paysages artificiels des plus réalistes.

Mandelbrot a également donné son nom au plus célèbre exemple d’objet fractal, l’ensemble de Mandelbrot. La description mathématique de ce dernier (une équation longue de quelques caractères) est suffisamment simple pour qu’un gymnasien puisse la comprendre. Mais une fois insérée dans un ordinateur qui la répète de multiples fois, on obtient un résultat inattendu: une image en forme de cœur, accompagné de bourgeons colorés infiniment complexes, sur lesquels on peut zoomer à l’infini pour explorer un superbe paysage mathématique.

A l’occasion de l’Année des mathématiques de la planète Terre 2013, Le Temps décrit l’environnement à travers les nombres et les formules.